图13-5 刘徽依勾股之法割圆图
图中点O为圆心,AB为内接正n边形的一边,C为弧AB的中点,因之,AC是内接正2n边形的一边。注意到AB⊥OC,考察直角△AOG,其中,“弦”OA为半径,“勾”AG则为边AB的一半,即
因而“股”长
进一步考察直角△ACG。这里“小勾”
|GC|=|OC|-|OG|
而“小股”AG为直角△AOG的“勾”,从而可求出“小弦”
此即内接正2n边形的边长。
再注意到
结果有
内接正2n边形的面积=AOC面积×2n
当然,对于割圆术中“割”到96边形后,是否还要继续往下“割”,刘徽是有自己的考虑的。在“阳马术注”中,刘徽甚至还说“安取余哉”,认为对“至细”“无形”的东西,可以舍弃不要;至于求微法中,刘徽也说过“不足言之”的话。这些似乎表明刘徽并没有明确的极限思想,并与他的“合体而无所失”目标有所背离。对于这些看似矛盾的观念,确实需要做一番说明。如果仅仅停留在切割几何图形的论证上,似乎与安提丰等人的论证非常相似。然而刘徽的高明之处在于,他对极限过程的逼近是建立在算法或数值计算基础上的,即把几何问题转化为计算问题,通过数字计算求得正多边形面积对圆面积极限的逼近。如同样是在割圆术注文中,刘徽说道:“觚面之外,犹有余径。以面乘余径,则幂出弧表。若夫觚之细者,与圆合体,则表无余径。表无余径,则幂不外出矣。觚而裁之。以一面乘半径,每辄自倍,故以半周乘半径而为圆幂。”(《九章算术·方田圆田术注》)这就是证明。而所谓“则朱幂虽有所弃之数,不足言之”是指,“微数”只要达到一定的精确度就可以停下来。至于何时停下来,则出于实用的考虑:如果计算过程对实际问题的解决并没有太大作用,即使是非常精确的数值也是没有必要的。这样,与其说刘徽强调了“有限”,不如说他朦胧地意识到了有限和无限的辩证统一。无限是可以通过有限来显现的。因此,不能因为刘徽出于实用的目的把“有限”作为处理问题的“权宜之计”而忽视他对无限、极限的深刻洞察和理解。[86]