图13-5 刘徽依勾股之法割圆图
图中点O为圆心，AB为内接正n边形的一边，C为弧AB的中点，因之，AC是内接正2n边形的一边。注意到AB⊥OC，考察直角△AOG，其中，“弦”OA为半径，“勾”AG则为边AB的一半，即
因而“股”长
进一步考察直角△ACG。这里“小勾”
|GC|=|OC|-|OG|
而“小股”AG为直角△AOG的“勾”，从而可求出“小弦”
此即内接正2n边形的边长。
再注意到
结果有
内接正2n边形的面积=AOC面积×2n
当然，对于割圆术中“割”到96边形后，是否还要继续往下“割”，刘徽是有自己的考虑的。在“阳马术注”中，刘徽甚至还说“安取余哉”，认为对“至细”“无形”的东西，可以舍弃不要；至于求微法中，刘徽也说过“不足言之”的话。这些似乎表明刘徽并没有明确的极限思想，并与他的“合体而无所失”目标有所背离。对于这些看似矛盾的观念，确实需要做一番说明。如果仅仅停留在切割几何图形的论证上，似乎与安提丰等人的论证非常相似。然而刘徽的高明之处在于，他对极限过程的逼近是建立在算法或数值计算基础上的，即把几何问题转化为计算问题，通过数字计算求得正多边形面积对圆面积极限的逼近。如同样是在割圆术注文中，刘徽说道：“觚面之外，犹有余径。以面乘余径，则幂出弧表。若夫觚之细者，与圆合体，则表无余径。表无余径，则幂不外出矣。觚而裁之。以一面乘半径，每辄自倍，故以半周乘半径而为圆幂。”（《九章算术·方田圆田术注》）这就是证明。而所谓“则朱幂虽有所弃之数，不足言之”是指，“微数”只要达到一定的精确度就可以停下来。至于何时停下来，则出于实用的考虑：如果计算过程对实际问题的解决并没有太大作用，即使是非常精确的数值也是没有必要的。这样，与其说刘徽强调了“有限”，不如说他朦胧地意识到了有限和无限的辩证统一。无限是可以通过有限来显现的。因此，不能因为刘徽出于实用的目的把“有限”作为处理问题的“权宜之计”而忽视他对无限、极限的深刻洞察和理解。[86]